Absolwent Wydziału Kompozycji i Teorii Muzyki Akademii Muzycznej w Gdańsku oraz Wydziału Wokalno-Aktorskiego tej samej uczelni (dyplom z wyróżnieniem w klasie prof. Piotra Kusiewicza). Jest laureatem nagrody specjalnej na III Konkursie Wokalnym im. A. Sari w Nowym Sączu za wykonanie współczesnej liryki wokalnej. W 1992 został laureatem III Nagrody (I nagrody jury nie przyznało) XXXVIII Międzynarodowego Konkursu Wokalnego w Tuluzie, otrzymując równocześnie nagrodę Syndykatu Dyrektorów Teatrów Francuskich. Współpracuje z wieloma teatrami operowymi i muzycznymi m.in. Teatrem Wielkim - Operą Narodową w Warszawie, Teatrem Wielkim w Poznaniu, Operą Krakowską, Warszawską Operą Kameralną, Operą Bałtycką w Gdańsku, Operą Nova w Bydgoszczy, Operą Wrocławską.
Ma w swoim repertuarze role w dziełach G. Rossiniego (Almaviva – Cyrulik sewilski, Don Ramiro – La Cenerentola), W.A. Mozarta (Don Ottavio – Don Giovanni), G. Donizettiego (Ernesto – Don Pasquale), S. Moniuszki (Damazy – Straszny dwór), P. Czajkowskiego (Leński – Eugeniusz Oniegin, Czekaliński – Dama pikowa), G. Verdiego (Casio – Otello, Alfred – La Traviata), R. Wagnera (Steuermann – Latający Holender), A. Berga (Andres – Wozzeck), R. Straussa (Narraboth i Izraelita – Salome, Tanzmeister – Ariadne auf Naxos), B. Brittena (Chór Męski – Gwałt na Lukrecji), K. Szymanowskiego (Pasterz – Król Roger), K. Pendereckiego (Cotice – Ubu Rex, Jedidia Potter – Czarna Maska), J. Straussa (Eisenstein – Zemsta Nietoperza), G. Gershwina (Sporting Life – Porgy and Bess), L. Bernsteina (Tony – West Side Story).
Często gości na różnorodnych festiwalach muzycznych, zarówno w kraju, jak i za granicą (festiwale muzyczne w Tallinie, Moskwie, Paryżu; Gaude Mater w Częstochowie, Wratislavia Cantans, Warszawska Jesień, Praska Wiosna, BBS Proms, Salzburgerfestspiele, Festiwal Operowy Telewizji Mezzo, Festival de Musica de Canarias – Las Palmas i inne). Koncertował w wielu renomowanych salach między innymi: Royal Albert Hall (Londyn), Théâtre des Champs-Elysées (Paryż), Felsenreitschule (Salzburg, Konzerthaus Wien, Filharmonia Berlińska, Filharmonia w Pradze, Filharmonia w Bratysławie, Théâtre Musical de Paris – Châtelet, Festival Hall – Osaka, NHK Hall (Tokio), Teatr Bolszoj (Moskwa). Stale współpracuje z niemal wszystkimi polskimi filharmoniami i orkiestrami symfonicznymi. Śpiewał z takimi zespołami, jak: Orkiestra Filharmonii Narodowej (Warszawa), Narodowa Orkiestra Symfoniczna Polskiego Radia (Katowice), Orchestr National de France (Paryż), CBSO Orchestra (Birmingham), Rundfung-Sinfonie-Orchester Berlin, Orchestre Philharmonique de Strasbourg, Orchestra Sinfônica do Estado de Sāo Paulo, Filharmonia w Bratysławie, prowadzonymi przez m.in. sir Y. Menuhina, sir S. Rattle'a, Ch. Dutoit, M. Janowskiego, V. Giergiewa, K. Pendereckiego, J. Krenza, A. Wita, K. Korda, J. Kaspszyka, José Marię Florência, K. Stryję, S. Stuligrosza.
Latem 1998 R. Minkiewicz zaproszony został przez angielską firmę płytową EMI do nagrania partii Pasterza w operze K. Szymanowskiego Król Roger. W tym czasie odbył cykl koncertów na największych festiwalach muzycznych w Europie promujących to nagranie. Brał udział w licznych inscenizacjach tej opery zarówno w kraju, jak i zagranicą. Ma na swoim koncie wiele nagrań dokonanych dla potrzeb Polskiego Radia, bądź jako rejestracje płytowe CD. Wziął udział w monograficznym nagraniu wszystkich dzieł orkiestrowych K. Szymanowskiego, wykonując cykle pieśni tego kompozytora. Został zaproszony przez Brytyjską Telewizję BBC do udziału w realizacji filmu poświęconego życiu i twórczości K. Szymanowskiego. Brał udział w koncertach transmitowanych na żywo, w ramach Europejskiej Unii Radiowej. Nagrania z udziałem R. Minkiewicza uzyskały liczne nagrody i wyróżnienia zarówno w Polsce, jak i na świecie. W kręgach muzycznych znany jest jako artysta specjalizujący się w wykonywaniu muzyki K. Szymanowskiego i innych twórców XX wieku, między innymi: I. Strawińskiego, J. Tavenera, B. Brittena, K. Pendereckiego.
Ryszard Minkiewicz jest profesorem sztuk muzycznych i pracuje w Akademii Muzycznej im. Stanisława Moniuszki w Gdańsku, prowadząc klasę śpiewu solowego. W latach 1996-2002 był Prodziekanem Wydziału Wokalno-Aktorskiego, od 2008 do 2012 roku pełnił funkcję Dziekana tego Wydziału. Od września 2012 roku piastuje stanowisko Prorektora ds. artystycznych i współpracy z zagranicą macierzystej uczelni.